ნაშთიანი გაყოფაა - როცა მოცემული a რიცხვი ზუსტად არ იყოფა რაიმე b რიცხვზე მიიღება არასრული განაყოფი c და ნაშთი r, 0 ≤ r < b ე.ი. a=bc+r. თუ r=0, მაშინ a b-ზე იყოფა ნაშთით 0.

მაგ: 17-ის 2-ზე გაყოფისას მიღება 8 მთელი და ნაშთი-1. ე.ი. 17=8.2+1; მაშასადამე, გასაყოფი(17) შეიძლება წარმოვადგინოთ გამყოფისა და არასრული განაყოფის ნამრავლისა (8.2) და ნაშთის (1) ჯამის სახით.

განვიხილოთ უარყოფითი მთელი რიცხვის ნაშთიანი გაყოფა. მაგალითად: -11:3=(-12+1):3. (-11)-ის ასეთნაირი წარმოდგენის შემდეგ კარგად ჩანს, რომ -11:3 მიღებული ნაშთი არის 1, რადგან -12 უნაშთოდ იყოფა 3-ზე.

ორი a და b რიცხვის მოცემულ რიცხვზე გაყოფისას მაშინ იძლევა ერთსა და იმავე ნაშთს, თუ a-b სხვაობა გამყოფის ჯერადია. მაგალითად (19-15):4 რადგან 19 და 15 4-ზე გყოფისას გვაძლევს ერთსა და იმავე ნაშთს, ამიტომ 19-15 უნაშთოდ იყოფა 4-ზე. მაგ: გამოთვლების შეუსრულებლად იპოვეთ 7+12+133+129 ჯამის 6-ზე გაყოგის შედეგად მიიღება ნაშთები: 1;0;1;3.

შემოწმება: 7-1=6 6-ის ჯერადია.

133-1=132 – 6-ის ჯერადია.

12-0=12 – 6-ის ჯერადია.

129-3=126 -6-ის ჯერადია.

ამის საფუძველზე შეიძლება გავაკეთოთ დასკვნა, რომ მოცემული ჯამის 6-ზე გაყოფისას მიღებული ნაშთია 5, რადგან 1+1+0+3=5. მაგალითი: რა იქნება 8.19.19.122 ნამრავლის 6-ზე გაყოფით მიღებული ნაშთი? რადგან 8-2=6; 17-5=12; 19-1=18 და 122-2=120, ამიტომ 8 შეგვიძლია შევცვალოთ 2-ით, 17-5-ით; 19-1-ით და 122-2-ით. მივიღებთ 2.5.1.2=20. 20-ის 6-ზე გაყოფისას მიიღება ნაშთი 2.

ამოცანა

ვთქვათ, თქვენს ბინაში გაზის მრიცხველზე პირველი ოთხი ციფრი, რომლითაც გაზის დანახარჯი აითვლება - 1467-ია. რამდენი მ³ გაზი დაგიხარჯავთ მრიცხველის დაყენების დღიდან? უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მრიცხველზე 9999-ის შემდეგ 0000 გამოჩნდება - მრიცხველი დანახარჯის 10000-ზე გაყოფის შედეგად მიღებულ ნაშთებს აჩვენებს.

ამოხსნა

ვთქვათ, სულ არის x. x რომ გავყოთ 10000-ზე გვიჩვენებს არასრულ განაყოფს, ანუ c+1467.

x:10000=c+1467

x=10000c+1467

c-ს თუ ავიღებთ 1-ს მაშინ დაგვიხარჯავს 11467 მ³, ხოლო c=2 მაშინ დაგვიხარჯავს 21467 მ³.