კვადრატული განტოლება - მათემატიკაში არის ax² + bx + c = 0 სახის ისეთი მრავალწევრი, სადაც x ცვლადია, ხოლო a, b, c - ნებისმიერი რიცხვები.

ზოგადად ამოიხსნება ამგვარად

რიცხვს D=b²-4ac ეწოდება მრავალწევრის დისკრიმინატი ax² +bx +c = 0

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი სხვადასხვა ამონახსნი აქვს.
2. თუ D = 0, მაშინ ორივე ფესვი არსებითია და ერთმანეთის ტოლია.
3. თუ D < 0, მაშინ ორივე ფესვი წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვს.

მაგალითი 1

ბურთი აისროლეს ზევით 3 მ სიმაღლიდან საწყისი 9 მ/წმ სიჩქარით. რა უდიდეს სიმაღლეს მიაღწევს ბურთი? ამ ამოცანაში დამატებით ასეთი კითხვა დავსვათ - რამდენი წამის შემდეგ დაეცემა ბურთი მიწაზე? თუ გამოვიყენებთ -1/2 gt² + v₀t +h₀ ფორმულას, სადაც პირობის თანახმად , v₀ = 9, h₀ = 3, g-ს ნაცვლად მის მიახლოებით მნიშვნელობას ჩავსვამთ, მოგვიწევს ამ კვადრატული ფუნქციის ნულის პოვნა, ანუ t-ს იმ მნიშვნელობისა, როცა h=0.

Y= ax² + bx +c კვადრატულ ფუნქციას, შეიძლება ნულები არ ჰქონდეს, შეიძლება ჰქონდეს ერთი ნული, ან ჰქონდეს ორი ნული.

ნულების პოვნა სხვადასხვა ხერხით შეიძლება; მაგალითად, ვიპოვოთ y=x² - 5x + 6 ფუნქციის ნულები.

1 ხერხი . x² – 5x +6 გამოსახულების მამრავლებად დაშლას დავუკავშიროთ :

X² – 5x + 6 = x² – 3x -2x +6 = x (x – 3) - 2 (x - 3) = ( x -3 ) (x – 2 )

( x – 3 ) ( x – 2 ) = 0; x = 3 ან x = 2.

აქედან ცხადია რომ ეს რიცხვები ფუნქციის ნულებია.

2 ხერხი. ეს ხერხი სრული კვადრატის გამოყოფას დავუკავშიროთ :

X² – 5x + 6 = x² – 2 . 2,5x + 2,5² - 2,5² + 6 = ( x- 2,5 )² – 0,25

( x – 2,5 )² – 0,25 = 0, ( x – 2,5 ) ² = 0,25

X – 2,5 = 0,5 ან x – 2,5 = - 0,5

X = 3 ან x= 2

3 ხერხი. ვიპოვოთ y=x² - 5x + 6 ფუნქციის გრაფიკზე მდებარე რამდენიმე წერტილს (მაგალითად, წვეროს, y ღერძთან გადაკვეთის წერტილს, შეიძლება რამოდენიმე წერტილსაც ), წარმოვადგენთ გრაფიკს ( ცხადია ეს წარმოდგენა მიახლოებითია ), გრაფიკის საშვალებით კი - x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს ( მიახლოებით ) - კვადრატული ფუნქციის ნულებს. თუმცა შეიძლება კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები: Y= ax² + bx +c კვადრატული ფუნქციის ნულების საპოვნელად.

ax² + bx +c = 0, a > 0

ამ სახით ჩაწერილ განტოლებას კვადრატული განტოლება ეწოდება და ამოიხსნება დისკრიმინანტის დახმარებით.

B² - 4ac = D კვადრატული განტოლების დისკრიმინატია. მივიღეთ :

თუ D < 0, არ არსებობს ნამდვილი რიცხვები;

თუ D > 0, ამ შემთხვევაში განტოლებას ორი ფესვი აქვს;

თუ D = 0, მაშინ განტოლებას ერთი ფესვი აქვს.